Question

14．已知直线L与抛物线C：y²=4x交于A、B两点，且线段AB的中点M（3，2）．
（Ⅰ）求直线L的方程
（Ⅱ）线段AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线L：y-2=k（x-3），直线方程与抛物线方程联立化为：k²x²-6kx+（2-3k）²=0，根据线段AB的中点M（3，2），即可求出k的值，
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=6，利用|AB|=x₁+x₂+p即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设直线L：y-2=k（x-3），
由$\left\{\begin{array}{l}y-2=k（x-3）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去y整理得，k²x²-6kx+（2-3k）²=0
当k=0时，显然不成立．
当k≠0时．${x_1}+{x_2}=\frac{6}{k}$，
又$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=3$得，$\frac{6}{k}=6，k=1$，
∴直线L：y-2=x-3，即x-y-1=0；
（Ⅱ）又焦点F（1，0）满足直线L：x-y-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又|AB|=|FA|+|FB|=（x₁+1）+（x₂+1），
x₁+x₂=6，
∴|AB|=8．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．