Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=2a，则该双曲线的离心率的值为2．

Answer 1

分析 利用向量的数量积公式，可得-4a+b²=2a，即16-a²=6a，可得a的值，由此可求双曲线的离心率．

解答 解：由题意，A（-a，0），F（4，0），B（0，b），
∴$\overrightarrow{BA}$=（-a，-b），$\overrightarrow{BF}$=（4，-b）
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=2a，
∴（-a，-b）•（4，-b）=2a，
∴-4a+b²=2a，
∴b²=6a，
∴16-a²=6a，
∴a=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{2}$=2，
故答案为：2

点评 本题考查向量的数量积公式，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．