Question

11．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证：$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥xy+yz+zx．

Answer 1

分析 x，y，z均为正实数，且xyz=1，可得$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$=$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$，利用柯西不等式，即可证明结论．

解答 证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz=1，
∴$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$=$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$，
∴由柯西不等式可得（$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$）（xy+yz+zx）
≥（$\frac{\sqrt{xyz}}{x}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{y}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{x}$）²=（$\frac{xyz}{x}$+$\frac{xyz}{y}$+$\frac{xyz}{z}$）²=（xy+yz+zx）²．
∴$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥xy+yz+zx．

点评 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，正确变形是关键．