Question

8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），将曲线C₁上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标缩短为原来的$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得到曲线C₂，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=0．
（1）求曲线C₂的极坐标方程及直线l与曲线C₂交点的极坐标；
（2）设点P为曲线C₁上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再求出交点的极坐标；
（2）设点P（1+2cosα，$\sqrt{3}$sinα），求得点P到直线l的距离，由此求得d的最大值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
可得曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
利用同角三角函数的基本关系消去α，
可得x²+y²-x-$\frac{3}{4}$=0，极坐标方程为ρ²-ρcosθ-$\frac{3}{4}$=0
直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=0，即4ρ（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）+$\sqrt{3}$=0，
即2$\sqrt{3}$x+2y+$\sqrt{3}$=0．
联立方程可得交点坐标（-$\frac{1}{2}$，0），（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
极坐标为（$\frac{1}{2}$，π），（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3π}{2}$）；
（2）设P（1+2cosα，$\sqrt{3}$sinα），
则点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{15}sin（α+θ）+3\sqrt{3}|}{4}$（tanθ=2），
∴点P到直线l的距离的最大值为$\frac{2\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题．