Question

18．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若a₂+a₃=8，则数列{a_n}的前n项和S_n=n²．

Answer 1

分析 利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出a₁=1，d=2，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：∵等差数列{a_n}的公差d≠0，
且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，a₂+a₃=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+12d）}\\{{a}_{1}+d+{a}_{1}+2d=8}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}$．
故答案为：n²．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．