Question

3．在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，且椭圆C₁经过点A（1，$\frac{3}{2}$），同时F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）E，F是椭圆C₁上两个动点，如果直线AE与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得c=1，可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，将点（1，$\frac{3}{2}$）代入方程求得a值得答案；
（Ⅱ）写出AE所在直线方程，y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，代入椭圆方程，求出E的坐标，同理求出F的坐标，然后代入斜率公式可得直线EF的斜率为定值，并求得这个定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，F₂（1，0），则c=1，b²=a²-1，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$．
将点（1，$\frac{3}{2}$）代入方程可得a²=4，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设AE的方程为y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，
代入椭圆方程得：（4k²+3）x²-（8k²-12k）x+（4k²-12k-3）=0．
∵1是方程的一个根，∴${x}_{E}=\frac{4{k}^{2}-12k-3}{4{k}^{2}+3}$，①
∵直线AF与AE的斜率互为相反数，∴${x}_{F}=\frac{4{k}^{2}+12k-3}{4{k}^{2}+3}$，②
∵${y}_{E}=k（{x}_{E}-1）+\frac{3}{2}$，${y}_{F}=-k（{x}_{F}-1）+\frac{3}{2}$，
∴${k}_{EF}=\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{-k（{x}_{F}+{x}_{E}）+2k}{{x}_{F}-{x}_{E}}$，
将①②代入可得${k}_{EF}=\frac{-k•\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}+2k}{\frac{24k}{4{k}^{2}+3}}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．