Question

12．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AB₁、BC₁的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）求B₁到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结B₁C、AC，则N也是B₁C的中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定定理证明MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）由${v_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={v_{{A_1}-{B_1}BC}}_1$，求出B₁到平面A₁BC₁的距离．

解答 （Ⅰ）证明：连结B₁C、AC，则N也是B₁C的中点
∴MN是△B₁AC的中位线，即有MN∥AC…3
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD
∴MN∥平面ABCD…（5分）
（Ⅱ）解：△A₁BC₁是边长为$\sqrt{2}$的等边三角形，∴${S_{△{A_1}BC{\;}_1}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（7分）
设B₁到平面A₁BC₁的距离为h，由${v_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={v_{{A_1}-{B_1}BC}}_1$
得$\frac{1}{3}×\frac{{4\sqrt{3}h}}{4}=\frac{1}{3}×（1×1×\frac{1}{2}）×1$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（10分）

点评 本题考查线面平行的判定定理，考查B₁到平面A₁BC₁的距离，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定定理是关键．