Question

4．设△ABC的内角A，B，C分别对应边a，b，c．若c²=（a-b）²+6，${S_{△ABC}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，则角C=（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{3}{4}π$
• D． $\frac{2}{3}π$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosC=1-$\frac{3}{ab}$，利用三角形面积公式可求sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{ab}$，从而利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin（C+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由范围C∈（0，π），可得：C+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质可求C的值．

解答 解：∵c²=（a-b）²+6，可得：a²+b²-c²=2ab-6，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1-$\frac{3}{ab}$，①
又∵${S_{△ABC}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC，可得：sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{ab}$，②
∴由①②可得：cosC=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC，化简可得：sin（C+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C∈（0，π），可得：C+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴C+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得：C=$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．