Question

15．已知椭圆E：x²+3y²=m²（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．
（1）当△AFB的面积为$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$时，求m的值；
（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形AFB的面积S=$\frac{1}{2}$b×（b-c），代入即可求得m的值；
（2）设直线AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得M和N的方程，当l的斜率不存在时，显然可得k=1，求得圆心为P（-$\frac{m}{2}$，0），当l的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得k_PM=k_PN，直线l是否过定点．

解答 解：（1）由椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{{m}^{2}}{3}}=1$，则a=m，b=$\frac{m}{\sqrt{3}}$，c=$\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{3}}$，
由三角形AFB的面积S，S=$\frac{1}{2}$b×（b-c）=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，
则$\frac{m}{\sqrt{3}}$（m-$\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{3}}$）$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，解得：m=$\sqrt{3}$，
∴m的值为$\sqrt{3}$；
（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MA⊥NA，
设直线AM的斜率为k（k＞0），则直线AN的斜率为-$\frac{1}{k}$，AM为y=k（x+m），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+m）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$，
整理得：（3k²+1）x²+6k²mx+（3k²-1）m²=0，
则x₁（-m）=$\frac{{（3{k}^{2}-1）m}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，则x₁=$\frac{m（1-3{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$，故y₁=k（x₁+m）=$\frac{2mk}{3{k}^{2}+1}$，
则M（$\frac{m（1-3{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{2mk}{3{k}^{2}+1}$），
直线AN的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x+m），同理可得：N（$\frac{m（{k}^{2}-3）}{{k}^{2}+3}$，-$\frac{2mk}{{k}^{2}+3}$），
当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（-$\frac{m}{2}$，$\frac{m}{2}$），N（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{m}{2}$），
则圆心为P（-$\frac{m}{2}$，0），
由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（-$\frac{m}{2}$，0），
当l的斜率存在时，k_PM=$\frac{\frac{2mk}{3{k}^{2}+1}-0}{\frac{m（1-3{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}+\frac{m}{2}}$=$\frac{4k}{3（1-{k}^{2}）}$=k_PN（k＞0，k≠1），
综上可知：l过定点（-$\frac{m}{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．