Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB-bccosA=3b²．
（1）求$\frac{sinA}{sinB}$的值；
（2）若角C为锐角，c=$\sqrt{11}$，sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据余弦公式求出a²=4b²，根据正弦定理求出$\frac{sinA}{sinB}$的值即可；
（2）求出cosC的值，得到$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}-11}{2ab}$=$\frac{1}{3}$以及$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}{b}$=2，求出a，b的值，求出三角形的面积即可．

解答 解：（1）∵accosB-bccosA=3b²，
∴$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2}$-$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2}$=3b²，
∴a²-b²=3b²，
∴a²=4b²，
∴$\frac{{sin}^{2}A}{{sin}^{2}B}$=4，∴$\frac{sinA}{sinB}$=2；
（2）若角C为锐角，sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosC＞0，
∴cosC=$\sqrt{1-\frac{8}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}-11}{2ab}$=$\frac{1}{3}$①，
由（1）得，$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}{b}$=2②，
联立①②得：b=$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，是一道中档题．