Question

17．在△ABC中，已知AB=2，AC²-BC²=6，则tanC的最大值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得$\frac{5}{3}$（$\frac{a}{b}$）²-2×$\frac{a}{b}$×cosC+$\frac{1}{3}$=0，由于△≥0，可求cosC≥$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由于C为锐角，根据正切函数的单调性可求当cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时，tanC取最大值，利用同角三角函数基本关系式可求tanC的最大值．

解答 解：∵AB=c=2，AC²-BC²=b²-a²=6，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC，
∴$\frac{2}{3}$（b²-a²）=a²+b²-2abcosC，
∴$\frac{5}{3}$（$\frac{a}{b}$）²-2×$\frac{a}{b}$×cosC+$\frac{1}{3}$=0，
∵△≥0，
∴可得：cosC≥$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵b＞c，可得C为锐角，
又∵tanC在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴当cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时，tanC取最大值，
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正切函数的单调性，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了方程思想，转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．