Question

12．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁、F₂，其离心率e=$\frac{1}{2}$，且点F₂到直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1的距离为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点P（x₀，y₀）是椭圆E上的一点（x₀≥1），过点P作圆（x+1）²+y²=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），依题意有$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{ab=bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．可得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
 （2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x-x₀）+y₀，由圆心（-1，0）到PM的距离为1，⇒|y₀-k（x₀+1）|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$⇒（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0，A（0，y₀-kx₀）．设圆的切线PN的方程为y=k₁（x-x₀）+y₀，同理可得B（0，y₀-k₁x₀），依题意k₁，k是方程（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0的两个实根，|AB|²=[x₀（k-k₁）]²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}+8{x}_{0}）}{（{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}++8{x}_{0}}{（{x}_{0}+2）^{2}}$．由$3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=12$，得|AB|²=1+$\frac{4（{x}_{0}+2）}{（{x}_{0}+2）^{2}}$=1+$\frac{4}{{x}_{0}+2}$．

解答 解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
依题意有$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{ab=bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
又∵a²=b²+c²，∴c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x-x₀）+y₀
由圆心（-1，0）到PM的距离为1，⇒
|y₀-k（x₀+1）|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$⇒（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0
令y=k（x-x₀）+y₀中x=0，y=y₀-kx₀
∴A（0，y₀-kx₀）．
设圆的切线PN的方程为y=k₁（x-x₀）+y₀．
同理可得B（0，y₀-k₁x₀）
依题意k₁，k是方程（x₀²+2x₀）k²-2y₀（x₀+1）k+y₀²-1=0的两个实根，
k₁+k=$\frac{2{y}_{0}（{x}_{0}+1）}{{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}}$，k₁k=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}}$
|AB|²=[x₀（k-k₁）]²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}+8{x}_{0}）}{（{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}++8{x}_{0}}{（{x}_{0}+2）^{2}}$．
∵$3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=12$，∴|AB|²=1+$\frac{4（{x}_{0}+2）}{（{x}_{0}+2）^{2}}$=1+$\frac{4}{{x}_{0}+2}$
∵1≤x₀≤2，∴|AB|²=1+$\frac{4}{{x}_{0}+2}$$∈[2，\frac{7}{3}]$．
∴|AB|的取值范围为[$\sqrt{2}，\frac{\sqrt{21}}{3}$]

点评 本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，圆的切线问题，属于难题