Question

19．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{a-{3^x}}}{{{3^x}+1}}$是奇函数．
（1）求a的值；      
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；      
（3）若对于任意$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，不等式f（sin2x）+f（2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得f（0）=0，求出a值，验证函数为奇函数即可；
（2）直接利用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）由函数的奇偶性与单调性化不等式f（sin2x）+f（2-k）＜0为sin2x＞k-2，求出sin2x的最小值可得k的取值范围．

解答 （1）解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，得a=1，
当a=1时，$f（x）=\frac{1-{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$，满足$f（-x）=\frac{1-{3}^{-x}}{{3}^{-x}+1}=\frac{\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}}}{\frac{1+{3}^{x}}{{3}^{x}}}$=$-\frac{1-{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$=-f（x），
f（x）为奇函数，∴a=1；
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{1-{3^{x_1}}}}{{{3^{x_1}}+1}}-\frac{{1-{3^{x_2}}}}{{{3^{x_2}}+1}}$
=$\frac{{（1-{3^{x_1}}）（{3^{x_2}}+1）-（1-{3^{x_2}}）（{3^{x_1}}+1）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}$=$\frac{{2（{3^{x_2}}-{3^{x_1}}）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}$．
∵x₁＜x₂，∴${3^{x_2}}-{3^{x_1}}＞0$，
又∵$（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）＞0$，
∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）为R上的减函数；
（3）解：∵对于任意$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，不等式f（sin2x）+f（2-k）＜0恒成立，
∴f（sin2x）＜-f（2-k），
∵f（x）为R上的奇函数，∴f（sin2x）＜f（k-2），
又f（x）为R上的减函数，∴$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，sin2x＞k-2恒成立，
设t=2x$（{-\frac{π}{3}≤t≤\frac{2π}{3}}）$，∴sin2x的最小值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＞k-2$，解得$k＜2-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，训练了利用函数的单调性求解函数不等式，是中档题．