Question

10．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x²=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设A，B和C点坐标，利用中点坐标公式求得M点坐标，由又BM∥y轴，则b=$\frac{a+c}{2}$，由|BM|=2，即可求得a-c=2$\sqrt{2}$，由三角形的面积公式可知S_△ABC=2S_△ABM，代入即可求得△ABC的面积．

解答 解：根据题意设A（a，a²），B（b，b²），C（c，c²），不妨设a＞c，
∵M为边AC的中点，
∴M（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$），又BM∥y轴，则b=$\frac{a+c}{2}$，
故丨BM丨=丨$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$-$\frac{（a+c）^{2}}{4}$丨=$\frac{（a-c）^{2}}{4}$=2，
∴（a-c）²=8，即a-c=2$\sqrt{2}$，
作AH⊥BM交BM的延长线于H．
∴S_△ABC=2S_△ABM=2×$\frac{1}{2}$×丨BM丨丨AH丨=2丨a-b丨=2丨a-$\frac{a+c}{2}$丨=a-c=2$\sqrt{2}$，
△ABC的面积2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．