Question

2．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若$\overrightarrow{AB}$•$\overline{AD}$=-7，则$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$的值是9．

Answer 1

分析 根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overline{AD}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OD}$）求出|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=4；再利用$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{OC}$）求出运算结果．

解答 解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，
且OA=3，OC=5，∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$；
若$\overrightarrow{AB}$•$\overline{AD}$=-7，
则（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OD}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OD}$
=${\overrightarrow{AO}}^{2}$+$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OB}$）-${\overrightarrow{OB}}^{2}$
=3²-${\overrightarrow{OB}}^{2}$=-7；
∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$=16，
∴|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=4；
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$
=-${\overrightarrow{BO}}^{2}$+$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{OD}$）+${\overrightarrow{OC}}^{2}$
=-4²+0+5²
=9．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题．