Question

1．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则椭圆C的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$

Answer 1

分析 将直线方程代入椭圆方程，由△=0，求得a²+b²=9，由题意的离心率公式，求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程．

解答 解：由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+b²）x²+6a²x+9a²-a²b²=0，
则△=0，则36a⁴-4（a²+b²）（9a²-a²b²）=0，整理得：a²+b²=9，①
由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，②
由①②，解得：a²=5，b²=4，
∴椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．