Question

2．2016年双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众中抽取了500人作调查，所得频率分布直方图如图所示：
记年龄在[55，65），[65，75），[75，85]对应的小矩形的面积分别是S₁，S₂，S₃，且S₁=2S₂=4S₃．
（Ⅰ）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的人数；
（Ⅱ）若按照分层抽样，从年龄在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在[15，25）内的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图的性质得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+S₁+S₂+S₃=1，且S₁=2S₂=4S₃．从而得到该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的频率，由此该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的人数．
（Ⅱ）年龄在[15，25），[65，75）的频率0.04，0.1，从年龄在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，年龄在[15，25）的人群中抽取2人，[65，75）的人群抽取5人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，基本事件总数n=${C}_{7}^{2}$=21，至少有1人的年龄在[15，25）内的对立事件是抽取的2人的年龄都在[65，75）内，由此能求出至少有1人的年龄在[15，25）内的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵记年龄在[55，65），[65，75），[75，85]对应的小矩形的面积分别是S₁，S₂，S₃，且S₁=2S₂=4S₃．
∴（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+S₁+S₂+S₃=1，
且S₁=2S₂=4S₃．
解得S₃=0.05，S₂=0.1，S₃=0.2，
∴该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的频率为0.030×10+0.2=0.5，
∴该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的人数为：0.5×30000=15000人．
（Ⅱ）从年龄在[15，25），[65，75）的频率分别为0.004×10=0.04，0.1，
从年龄在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，
年龄在[15，25）的人群中抽取：7×$\frac{0.04}{0.04+0.1}$=2人，[65，75）的人群抽取：7×$\frac{0.1}{0.04+0.1}$=5人，
再从这7人中随机抽取2人作深入调查，基本事件总数n=${C}_{7}^{2}$=21，
至少有1人的年龄在[15，25）内的对立事件是抽取的2人的年龄都在[65，75）内，
∴至少有1人的年龄在[15，25）内的概率p=1-$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=1-$\frac{11}{21}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．