Question

17．已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为D（0，-1），且离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．经过点M（1，0）的直线L与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求|AM|的取值范围．
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点P，使∠MPA=∠MPB．若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$由已知得$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，又a²=b²+c²，∴a²=3，b²=1，
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），用x₁，y₁表示|AM|，再利用$\frac{x_1^2}{3}+y_1^2=1$，求出|AM|的最小值．
（Ⅲ）假设x轴上存在定点P（m，0）满足条件，B（x₂，y₂）．当直线L的斜率存在时，设直线L方程为：y=k（x-1）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消去y整理得，（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0${x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{3{k^2}-3}}{{1+3{k^2}}}$，由∠MPA=∠MPB得k_PA+k_PB=0，即可．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$由已知得$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
又a²=b²+c²，∴a²=3，b²=1，即椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$…（2分）
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），
即$\frac{x_1^2}{3}+y_1^2=1$，$|AM|=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+y_1^2}=\sqrt{x_1^2-2{x_1}+1+（1-\frac{x^2}{3}）}=\sqrt{\frac{{2{x^2}}}{3}-2{x_1}+2}$
又$-\sqrt{3}≤x≤\sqrt{3}$，得$\frac{{2{x^2}}}{3}-2{x_1}+2=\frac{2}{3}{（x-\frac{3}{2}）^2}+\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$
∴所以当x₁=时，|AM|的最小值为$\frac{1}{2}$…6分
（Ⅲ）假设x轴上存在定点P（m，0）满足条件，B（x₂，y₂）．
当直线L的斜率存在时，设直线L方程为：y=k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消去y整理得，（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0${x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{3{k^2}-3}}{{1+3{k^2}}}$…（8分）
由∠MPA=∠MPB得k_PA+k_PB=0，即$\frac{{{x_1}-1}}{y_1}+\frac{{{x_2}-1}}{y_2}=0$，…（8分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）即$\frac{{{x_1}-m}}{y_1}+\frac{{{x_2}-m}}{y_2}=\frac{{{x_1}-m}}{{k（{x_1}-1）}}+\frac{{{x_2}-m}}{{k（{x_2}-1）}}=\frac{{2{x_1}{x_2}-（m+1）（{x_1}+{x_2}）+2m}}{{{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$=0．
$2×\frac{{3{k^2}-3}}{{1+3{k^2}}}-（m+1）\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}+2m=\frac{-6+2m}{{1+3{k^2}}}=0$，
即m=3，P（3，0）
当直线L的斜率不存在时，也满足条件．
∴定点P坐标为（3，0）…（12分）

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系、范围问题、定点问题，转化思想是解题关键，属于中档题．