Question

6．已知椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF₁|+|QF₁|=4，P为椭圆C上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过左焦点F₁的任意直线与椭圆C相交于S、T两点，求$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a，再由，△PF₁F₂的面积的最大值为$\sqrt{3}$得到bc=$\sqrt{3}$，结合隐含条件求得b，c的值，则椭圆离心率可求；
（2）由（1）求出椭圆方程，当直线ST的斜率不存在时，求出S，T的坐标，可得$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的值；当直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），将直线ST的方程y=m（x+1）代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积的坐标运算求得$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知，2a=4，a=2．
又bc=$\sqrt{3}$，且b²+c²=4，解得b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
当直线ST的斜率不存在时，有S（-1，$\frac{3}{2}$）、T（-1，$-\frac{3}{2}$），
此时$\overrightarrow{OS}•\overrightarrow{OT}=-\frac{5}{4}$．
当直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），
再设点S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
将直线ST的方程y=m（x+1）代入椭圆方程消去y并整理得：
（4m²+3）x²+8m²x+4m²-12=0．
得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8{m}^{2}}{4{m}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{4{m}^{2}+3}$．
从而$\overrightarrow{OS}•\overrightarrow{OT}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+{m}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）$
=$（{m}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+{m}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{（{m}^{2}+1）（4{m}^{2}-12）}{4{m}^{2}+3}+\frac{-8{m}^{4}}{4{m}^{2}+3}+\frac{4{m}^{4}+3{m}^{2}}{4{m}^{2}+3}$
=$\frac{-5{m}^{2}-12}{4{m}^{2}+3}$=$-4+\frac{11{m}^{2}}{4{m}^{2}+3}=-\frac{5}{4}-\frac{33}{4{m}^{2}+3}$∈[-4，-$\frac{5}{4}$）．
综上所述，$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的取值范围为[-4，-$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．