Question

15．已知点A（a，0），点P是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a=-1或2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设P（x，y）（x≥2），则|PA|²=（x-a）²+y²=$\frac{5}{4}（x-\frac{4}{5}a）^{2}$+$\frac{1}{5}{a}^{2}$-1，分类讨论，利用|PA|的最小值为3，求出a的值．

解答 解：设P（x，y）（x≥2），则|PA|²=（x-a）²+y²=$\frac{5}{4}（x-\frac{4}{5}a）^{2}$+$\frac{1}{5}{a}^{2}$-1，
a＞0时，x=$\frac{4}{5}$a，|PA|的最小值为$\frac{1}{5}{a}^{2}$-1=3，∴$a=2\sqrt{5}$，
a＜0时，2-a=3，∴a=-1．
故答案为-1或2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程，考查距离公式的运用，属于中档题．