Question

17．在数列{a_n}中，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）且a₁=2．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对原等式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）运用等比数列的通项公式可得${a_n}+1=3•{2^{n-1}}$，即${a_n}=3•{2^{n-1}}-1$，再由数列的求和方法：分组求和，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∵a₁=2，∴a₁+1=3，
则数列{a_n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知${a_n}+1=3•{2^{n-1}}$，
∴${a_n}=3•{2^{n-1}}-1$，
则S_n=（3+6+…+3•2^n-1）-（1+1+…+1）
∴${S_n}=\frac{{3（1-{2^n}）}}{1-2}-n=3•{2^n}-n-3$．

点评 本题考查等比数列的定义的运用，以及通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．