Question

19．已知函数f（x）=（sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²-2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的区间上，解不等式得函数的单调递增（递减）区间；
（2）x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=（sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²-2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$．
化简可得：f（x）=1+sinx-$\sqrt{3}-\sqrt{3}$cosx+$\sqrt{3}$=sinx-$\sqrt{3}$cosx+1=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得$2kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}+2kπ$，
∴f（x）的单调增区间为[$2kπ-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}+2kπ$]，k∈Z．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$得$\frac{5π}{6}+2kπ$≤x≤$\frac{11π}{6}$+2kπ，
∴f（x）的单调减区间为[$\frac{5π}{6}+2kπ$，$\frac{11π}{6}+2kπ$]，k∈Z．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵x∈[0，π]上，
∴x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
当x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}×2+1$=1$-\sqrt{3}$．
当x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为1×2+1=3．
故得函数f（x）在[0，π]上的值域为[$1-\sqrt{3}$，3]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题