Question

20．定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0，且0≤x≤2，则x-b的取值范围是（　　）

• A． [-2，0]
• B． [-2，2]
• C． [0，2]
• D． [0，4]

Answer 1

分析 设P（x，y）为函数y=f（x-1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2-x，-y），可得f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．由于不等式f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0化为f（x²-2x）≤-f（2b-b²）=f（1-1-2b+b²）=f（b²-2b），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x²-2x≥b²-2b，可画出可行域，进而得出答案．

解答 解：设P（x，y）为函数y=f（x-1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2-x，-y），
∴f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．
∴不等式f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0化为f（x²-2x）≤-f（2b-b²）=f（1-1-2b+b²）
=f（b²-2b），
∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，
∴x²-2x≥b²-2b，
化为（x-1）²≥（b-1）²，
∵0≤x≤2，∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{x≤b≤2-x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x≤b≤x}\end{array}\right.$．
画出可行域．设x-b=z，则b=x-z，由图可知：当直线b=x-z经过点（0，2）时，z取得最小值-2．
当直线b=x-z经过点（2，0）时，z取得最大值2．
综上可得：x-b的取值范围是[-2，2]．
故选B．

点评 本题综合考查了函数的对称性、单调性、线性规划的可行域及其最值、直线的平移等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．