Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）将函数f（x）用和角与差角的正弦公式展开，合并同类项后再用辅助角公式，可得f（x）=2sin(2x-

π

6

)+a，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，可得最小正周期和单调增区间；
（2）按题中方法平移后，得到g（x）=2sin[2x+(2m-

π

6

)]+a，当2m-

π

6

=kπ+

π

2

(K∈Z)时，g（x）为偶函数且图象关于y轴对称，再k=0，得m的最小正值为

π

3

．

解答：解：（1）f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-cos2x+a=2sin2xcos

π

6

-cos2x+a
=

3

sin2x-cos2x+a=2sin(2x-

π

6

)+a．…（3分）
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π…（4分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
∴函数f（x）单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．…（7分）
（2）函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得g(x)=2sin[2(x+m)-

π

6

]+a=2sin[2x+(2m-

π

6

)]+a，
要使g（x）的图象关于y轴对称，只需2m-

π

6

=kπ+

π

2

(K∈Z)…（9分）
即m=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)，取k=0，得m的值为

π

3

为最小正值
∴m的最小值为

π

3

．…（12分）

点评：本题将一个函数化简整理为y=Asin（ωx+φ）+k，并求它的单调性和周期性，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识点，属于中档题．