Question

7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow q$=（2a，1），$\overrightarrow p$=（2b-c，cosC），且$\overrightarrow p$∥$\overrightarrow q$，三角函数式μ=$\frac{-2cos2C}{1+tanC}$+1的取值范围是（-1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据平面向量共线定理的坐标表示，利用正弦定理求出A的值，
再利用同角的三角函数关系和三角恒等变换化简三角函数式μ，即可求出它的取值范围．

解答 解：∵向量$\overrightarrow q$=（2a，1），$\overrightarrow p$=（2b-c，cosC），且$\overrightarrow p$∥$\overrightarrow q$，
∴2acosC-1×（2b-c）=0，
根据正弦定理，得2sinAcosC-（2sinB-sinC）=0，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0；
∵C是三角形内角，sinC≠0，
∴2cosA-1=0，可得cosA=$\frac{1}{2}$；
∵A是三角形内角，
∴A=$\frac{π}{3}$；
∴三角函数式μ=$\frac{-2cos2C}{1+tanC}$+1
=$\frac{2{（sin}^{2}C{-cos}^{2}C）}{1+\frac{sinC}{cosC}}$+1
=2cosC（sinC-cosC）+1
=sin2C-cos2C，
=$\sqrt{2}$sin（2C-$\frac{π}{4}$），
∵A=$\frac{π}{3}$，得C∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴2C-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{13π}{12}$），可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（2C-$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-1＜$\sqrt{2}$sin（2C-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
即三角函数式μ=$\frac{-2cos2C}{1+tanC}$+1的取值范围是（-1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：（-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了平面向量共线定理的坐标表示以及正弦定理，同角的三角函数关系和三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．