Question

【题目】已知三棱锥A﹣BCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

Answer 1

【答案】解：如图，取AC的中点P，连结PM、PN，
则PM∥AB，且PM=AB，PN∥CD，且PN=CD，
∴∠MPN为AB与CD所成的角（或所成的角的补角），
∴∠MPN=60°或∠MPN=120°，
若∠MPN=60°，∵PM∥AB，∴∠PMN是AB与MN所成的角（或所成角的补角），
又∵AB=CD，∴PM=PN《
∴△PMN是等边三角形，∴∠PMN=60°，
∴AB与MN所成的角为60°；
若∠MPN=120°，则△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=30°，
∴AB与MN所成的角为30°，
∴直线AB与MN所成的角为60°或30°．

【解析】取AC的中点P，连结PM、PN，则∠MPN为AB与CD所成的角（或所成的角的补角），∠PMN是AB与MN所成的角（或所成角的补角），由此能求出直线AB与MN所成的角．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．