Question

如图；在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是CD的中点．
（1）如图中与BA₁是异面直线的条数有．
（2）求BA₁与AD₁的所成角的大小．
（3）求AE与BA₁的所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）如图，排除过点B，A₁的棱有关6条，没有与它平行的棱，故还有6条．
（2）由BC₁∥AD₁，可知∠BC₁A₁是BA₁与AD₁的所成角，然后在△∠BC₁A₁是等边三角形中求解．
（3）取DD₁的中点F，由中位线定理可知EF∥CD₁∥BA₁，从而∠FEA是AE与BA₁的所成角，然后在△AEF中求解．

解答：解：（1）∵棱BC，BB₁，BA，A₁A，A₁D₁，A₁B₁与BA₁是相交，
∴与之是异面直线的棱有6条；
（2）连接BC₁，C₁A₁，则BC₁∥AD₁，
则∠BC₁A₁是BA₁与AD₁的所成角．
又△∠BC₁A₁是等边三角形，则∠BC₁A₁=60度，
所求BA₁与AD₁的所成角的大小是60度．
（3）取DD₁的中点F，由E是CD的中点，则EF∥CD₁∥BA₁，
则∠FEA是AE与BA₁的所成角．
设AB=2，则AE=

5

，EF=

2

，AF=

5

，
则cos∠FEA=

10

10

．
即AE与BA₁的所成角的大小是arccos

10

10

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角，解题思路是应用异面直线所成角的定义，用平行线将空间角转化为平面角，是常考类型，属中档题．