Question

f（x）=（ax²+x-1）e^x
（1）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（2）若a=-1，f（x）的图象与g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m的图象有3个不同的交点，求实数m的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）令h（x）=f（x）-g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

解答： 解：（1）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=axe^x（x+

2a+1

a

），且a＜0，
∴当a∈（-

1

2

，0）时，f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，-

2a+1

a

）上是增函数，在（-

2a+1

a

，+∞）上是减函数，
当a=-

1

2

时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当a∈（-∞，-

1

2

）时，f（x）在（-∞，-

2a+1

a

）上是减函数，在（-

2a+1

a

，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（

1

3

x³+

1

2

x²+m），
则h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）=-（e^x+1）（x²+x）
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1处取得极小值h（-1）=-

3

e

-

1

6

-m，在x=0处取得极大值h（0）=-1-m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴

h(-1)＜0 h(0)＞0

即

- 3 e - 1 6 -m＜0 -1-m＞0

，
解得：-

3

e

-

1

6

＜m＜-1．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．