Question

【题目】四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，

E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：

(1)由题意可证得AF⊥PC．EF⊥PC．利用线面垂直的判断定理可得PC⊥平面AEF．

(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的平面角的正弦值是.

试题解析：

（1）证明：∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．∵AF∩EF＝F，

∴PC⊥平面AEF．

（2）解：以点为坐标原点，直线分别为

轴和轴，建立空间直角坐标系。

可求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，

所以 .