Question

已知向量

a

=（m，-1），

b

=（sinx，cosx），f(x)=

a

•

b

且满足f(

π

2

)=1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的最大值及其对应的x值；
（3）若f(α)=

1

5

，求

sin2α-2sin2α

1-tanα

的值．

Answer 1

（1）f(x)=

a

•

b

=msinx-cosx，
f(

π

2

)=1即msin

π

2

-cos

π

2

=1，所以m=1
所以f（x）=sinx-cosx…（4分）
（2）f(x)=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)
当x-

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即x=2kπ+

3π

4

(k∈Z)时，fmax(x)=

2

…（8分）
（3）f(α)=

1

5

，即sinα-cosα=

1

5

…（9分）
两边平方得：(sinα-cosα)2=

1

25

，
所以2sinαcosα=

24

25

…（10分）

sin2α-2sin2α

1-tanα

=

2sinα(cosα-sinα)

1- sinα cosα

=2sinαcosα=

24

25

…（12分）