Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga ，（a＞0且a≠1）．记F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的零点；
（2）若关于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=2f（x）+g（x）= （a＞0且a≠1），

要使函数F（x）有意义，则必须 ，解得﹣1＜x＜1，

∴函数F（x）的定义域为D=（﹣1，1）．

令F（x）=0，则 …（*）

方程变为 ，

∴（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0

解得x1=0，x2=﹣3，

经检验x=﹣3是（*）的增根，

∴方程（*）的解为x=0，

∴函数F（x）的零点为0

（2）解：函数 在定义域D上是增函数，可得：

①当a＞1时，F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数，

②当0＜a＜1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数．

因此问题等价于关于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．

①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数，

∴F（x）∈[0，+∞），

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，解得：m≤﹣1，或 ．

②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数，

∴F（x）∈（﹣∞，0]，

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0解得： ，

综上所述，当0＜a＜1时： ；

当a＞1时，m≤﹣1，或

【解析】（1）利用对数函数和分式函数的定义域即可得出F（x）其定义域，利用零点的意义和对数函数的单调性即可得出；（2）对a分类讨论可得函数F（x）的单调性，进而问题等价于关于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．再利用一元二次不等式的解法即可得出．