Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.

（Ⅰ）试证：CD平面BEF;

（Ⅱ）设,且二面角E-BD-C的平面角大于,求的取值范围.

Answer 1

解法一：

（I）证：由已知且为直角，故是矩形，从而，又底面，，故由三垂线定理知，在中，、分别为、的中点，故，从而，由此得面.

（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在中易知EGPA，又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD，在底面ABCD中，过G作GHBD，垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD，从而为二面角E-BD-C的平面角。设，则在中，有

     

图1

以下计算，考虑底面的平面图（如图）。连接，

因

故

在中，因得而从而得

因此

由知是锐角，故要使，必须

解之得，的取值范围为

图2

解法二：

（I）如图，以A为原点，AB所在直线为轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为轴建立，空间直角坐标系，设，则易知点的坐标分别为

从而

故

设则而为中点，故

从而

故

由此得.

（II）设在平面上的射影为G，过G作GH⊥BD垂足为H，由三垂线定理知GH⊥BD，从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角。

由得，

设，则，，

由得，即

                  ①

又因，且的方向相同，故，即

                  ②

由①②解得，从而，

 

由知是锐角，由，得，即故的取值范围为