Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围为______．

Answer 1

∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
∴两焦点关于直线y=x的对称点为F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．
∵点F₁'与F₂'都在椭圆的内部，
∴

02

a2

+

c2

b2

＜1，即

c2

a2-c2

＜1，解之得a＞

2

c，因此可得e=

c

a

＜

2

2

，
又∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴该椭圆的离心率e∈（0，

2

2

）．
故答案为：（0，

2

2

）