Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与-

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)离心率分别为e₁，e₂，则当a，b变化时，e₁+e₂最小值为

2

2

．

Answer 1

分析：先根据双曲线的标准方程求出e₁和e₂，根据

1

e 1 2

+

1

e 2 2

=1 并利用基本不等式求出e₁e₂≥2，再由e₁+e₂ 
≥ 2

e1e2

≥2

2

，求出其最小值．

解答：解：由题意可得 e₁=

a2+b2

a

=

c

a

，e₂ =

a2+b2

b

=

c

b

，
∴

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=

a2

c2

+

b2

c2

=1≥2

1

e1e2

，∴e₁e₂≥2，
∴e₁+e₂ ≥2

e1e2

=2

2

，当且仅当a=b时，等号成立．
故e₁+e₂最小值为 2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程以及双曲线的简单性质的应用，求出e₁和e₂之后，根据a，b，c之间的数量关系
利用均值不等式推导e₁+e₂的最小值．