Question

【题目】已知函数f(x)＝ (a∈R)．

(Ⅰ)若a＝1，求曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；

(Ⅱ)求f(x)的极值；

(Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)＝1的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) x＋e2y－3e＝0 (2) a≥1.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由切点坐标，根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导函数，令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可；

（Ⅲ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，即在区间上，函数存在自变量取某个值时，函数值等于1，故问题可以转化为求出函数最值，保证函数的最大值大于等于1，最小值小于等于1，即可得到关于参数的不等式，解之即得．

试题解析：(Ⅰ) a＝1， 且

又∵

∴

∴f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为： ，即x＋e2y－3e＝0.

(Ⅱ)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

令f′(x)＝0得x＝e1－a.

当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；

当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；

f(x)在x＝e1－a处取得极大值，

即f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1

(Ⅲ)(i)当e1－a<e2，即a>－1时，

由(Ⅱ)知f(x)在(0，e1－a)上是增函数，

在(e1－a，e2]上是减函数，

当x＝e1－a时，f(x)取得最大值，

即f(x)max＝ea－1.

又当x＝e－a时，f(x)＝0，

当x∈(0，e－a]时，f(x)<0，

当x∈(e－a，e2]时，f(x)∈(0，ea－1]，

所以，f(x)的图象与g(x)＝1的图象在(0，e2]上有公共点，

等价于ea－1≥1，解得a≥1，

又因为a>－1，所以a≥1.

(ii)当e1－a≥e2，即a≤－1时，f(x)在(0，e2]上是增函数，

f(x)在(0，e2]上的最大值为f(e2)＝，

原问题等价于≥1，解得a≥e2－2，

又a≤－1　 无解

综上，a的取值范围是a≥1.