Question

9．已知f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（$\frac{π}{4}}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求ω和φ的值； 
（2）求f（x）的单调递增区间；  
（3）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∵f$（{\frac{π}{4}}）$=cos$（{2×\frac{π}{4}+φ}）$=cos$（{\frac{π}{2}+φ}）$=-sinφ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即函数的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查余弦函数的图象特征，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性以及它的定义域和值域，属于基础题．