Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）≥x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，f（x）=x|x-a|．…（1分）
当x＜2时，f（x）=x（2-x）≥x，解得x∈[0，1]； …（2分）
当x≥2时，f（x）=x（x-2）≥x，解得x∈[3，+∞）； …（3分）
综上，所求解集为x∈[0，1]∪[3，+∞）； …（4分）
（Ⅱ）①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x²-ax=（x-

a

2

）²-

a2

4

，其图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=

a

2

，
∵a≤1，∴

a

2

≤

1

2

＜1，
∴f（x）_min=f（1）=1-a…（6分）
②当1＜a＜2时，在区间[1，2]上，f（x）=x|x-a|≥0，
f（x）_min=0…（8分）
③当a≥2时，在区间[1，2]上，f（x）=-x²+ax=-（x-

a

2

）²+

a2

4

，
其图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=

a

2

，
1° 当1≤

a

2

＜

3

2

即2≤a＜3时，f（x）_min=f（2）=2a-4…（10分）
2° 当

a

2

≥

3

2

即a≥3时，f（x）_min=f（1）=1-a
∴综上，f（x）_min=

1-a，a≤1 0，1＜a＜2 2a-4，2≤a＜3 1-a，a≥3

…（12分）