Question

在如图所示的几何体中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M为AF的中点，BN⊥CE.

(1)求证：CF∥平面MBD；

(2)求证：CF⊥平面BDN.

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析

【解析】证明：(1)连接AC交BD于点O，连接OM.

因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点．

因为M为AF的中点，所以CF∥OM，

又OM?平面MBD，CF?平面MBD，所以CF∥平面MBD.

(2)因为正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，

所以AF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以AF⊥BD.

又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

因为AC∩AF＝A，所以BD⊥平面ACF，

因为CF?平面ACF，所以CF⊥BD.

因为AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，所以AB⊥平面BCE.

因为BN?平面BCE，所以AB⊥BN，易知EF∥AB，

所以EF⊥BN.

又EC⊥BN，EF∩EC＝E，所以BN⊥平面CEF，

因为CF?平面CEF，所以BN⊥CF.

因为BD∩BN＝B，所以CF⊥平面BDN.