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已知函数f(x)=xlnx
(1)写出函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=
1
2
mx2
(m为实数),若f(x)≥g(x)对x∈[
e
2
3e
2
]
恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)先求函数的定义域,然后利用导数求函数的单调区间.
(2)求导,利用导数求函数的最值.
解答:解:(1)函数定义域为(0,+∞),
∵f′(x)=lnx+1,
令f′(x)=0得x=
1
e

当f'(x)<0时,x∈(0,
1
e
)
,此时f(x)单调递减;
当f′(x)>0时,x∈(
1
e
,+∞)
,此时f(x)单调递增.…(4分)
(2)要求xInx≥
1
2
mx2
,即m≤
2Inx
x
x∈[
e
2
3e
2
]
恒成立,
h(x)=
2Inx
x
,则h/(x)=
2-2Inx
x2
=0
时,得x=e,
x∈[
e
2
,e]
时,h′(x)≥0,当x∈[e,
3e
2
]
时,h′(x)≤0

h(x)min∈{h(
e
2
),h(
3e
2
)}
,…(9分)
而易证
h(
e
2
)
h(
3e
2
)
<1
…(13分)
又m≤h(x)min,即m≤h(
e
2
)=
4
e
In
e
2
…(14分)
点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题,对应含参数恒成立问题,通常是将参数分离,转化为最值恒成立问题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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