Question

2．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$．
（1）点A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且直线l过点A，求曲线C与直线l的交点坐标；
（2）过点B（-2，2）且倾斜角为$\frac{3π}{4}$的直线l₁与曲线C交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．

Answer 1

分析 （1）把点A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）代入直线l的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，可得a=$\sqrt{2}$．展开$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，化为3ρ²+（ρsinθ）²=12，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．联立解出即可得出点P，Q两点的坐标．
（II）直线l₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程利用|BM|•|BN|=t₁t₂即可得出．

解答 解：（1）把点A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）代入直线l的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，可得$\sqrt{2}cos0$=a，解得a=$\sqrt{2}$．
∴$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程x+y-2=0．
曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，化为3ρ²+（ρsinθ）²=12，
∴直角坐标方程为3x²+4y²=12，化为标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，化为7y²-12y=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{7}}\\{y=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$．
∴P（2，0），Q$（\frac{2}{7}，\frac{12}{7}）$．
（II）直线l₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程为：$7{t}^{2}+28\sqrt{2}t+32$=0，
∴t₁t₂=$\frac{32}{7}$．
∴|BM|•|BN|=t₁t₂=$\frac{32}{7}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与椭圆相交交点问题、直线的参数方程应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．