Question

14．已知$|\overrightarrow a|=3，|\overrightarrow b|=4$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ=120°，求
（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；           
（2）$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$；        
（3）（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）在$\overrightarrow{a}方向上$的射影．

Answer 1

分析 （1）代入数量积公式计算；
（2）求出（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²，开方即得出答案；
（3）求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角，代入公式计算．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos120°=3×4×（-$\frac{1}{2}$）=-6．
（2）∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=9-12+16=13，
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{13}$．
（3））∵（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=9+12+16=37，
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{37}$．
（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=9+6=15，
∴cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{15}{3\sqrt{37}}$=$\frac{5\sqrt{37}}{37}$，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）在$\overrightarrow{a}方向上$的射影为|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\sqrt{37}$×$\frac{5\sqrt{37}}{37}$=5．

点评 本题考查了平面向量的数量积和模运算，属于基础题．