Question

3．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期、单调增区间、对称轴和对称中心；
（2）该函数图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性、单调性以及图象的对称性，求得f（x）的最小正周期、单调增区间、对称轴和对称中心．
（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
求得 $kπ-\frac{5}{12}π≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
∴原函数的单调增区间是$[kπ-\frac{5}{12}π\;，\;kπ+\frac{π}{12}]\;k∈Z$．
令f（x）=0得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=0，∴$2x+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，
∴对称中心为$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}\;，\;0）\;k∈Z$．
令f（x）=±2得$sin（2x+\frac{π}{3}）=±1$，$2x+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
∴对称轴为直线$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，k∈Z$．
（2）把y=sinx（x∈R）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
把所得图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性以及图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．