Question

15．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1；③f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）．则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{5}{12}$）的值（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由已知条件求出f（1）、f（ $\frac{1}{2}$）、f（ $\frac{1}{3}$）、f（ $\frac{1}{9}$）、f（ $\frac{1}{6}$）的值，利用当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），通过 $\frac{1}{9}$＜$\frac{5}{36}$＜$\frac{1}{6}$，有f（ $\frac{1}{9}$）≤f（ $\frac{5}{36}$）≤f（ $\frac{1}{6}$），而f（ $\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{4}$=f（ $\frac{1}{6}$），有 f（ $\frac{5}{36}$）=$\frac{1}{4}$，结果可求．

解答 解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，
∴f（1）=1，
令x=$\frac{1}{2}$，所以有f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵③f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），∴f（x）=2f（$\frac{x}{3}$），f（$\frac{5}{12}$）=2f（$\frac{5}{36}$）
f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），令x=1，有f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
令x=$\frac{1}{3}$，有f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
非减函数性质：当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴$\frac{1}{9}$＜$\frac{5}{36}$＜$\frac{1}{6}$，有f（$\frac{1}{9}$）≤f（$\frac{5}{36}$）≤f（$\frac{1}{6}$），
而f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{4}$=f（$\frac{1}{6}$），所以有 f（$\frac{5}{36}$）=$\frac{1}{4}$，
则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{5}{12}$）=$\frac{1}{2}$+2f（$\frac{5}{36}$）=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{4}$=1．
故选：C．

点评 本题考查抽象函数的应用，充分利用题意中非减函数性质．