Question

7．对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|＜1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（kx+1）与g（x）=log₂x在闭区间[1，2]上是接近的，则实数k的一个可能值是（0，1）中的值．

Answer 1

分析 若f（x）=log₂（kx+1）与g（x）=log₂x在闭区间[1，2]上是接近的，则对任意x∈[1，2]，均有|f（x）-g（x）|＜1，即$\frac{\frac{1}{2}x-1}{x}＜k＜\frac{2x-1}{x}$恒成立，进而得到k的取值范围．

解答 解：∵f（x）=log₂（kx+1）与g（x）=log₂x在闭区间[1，2]上是接近的，
∴对任意x∈[1，2]，均有|f（x）-g（x）|＜1，即|log₂（kx+1）-log₂x|＜1，
即-1＜${log}_{2}\frac{kx+1}{x}$＜1，即$\frac{1}{2}＜\frac{kx+1}{x}＜2$，即$\frac{\frac{1}{2}x-1}{x}＜k＜\frac{2x-1}{x}$恒成立，
当x∈[1，2]时，$\frac{\frac{1}{2}x-1}{x}$∈[-$\frac{1}{2}$，0]，$\frac{2x-1}{x}$∈[1，$\frac{3}{2}$]，
故k∈（0，1），
故答案为：（0，1）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，恒成立问题，转化思想，难度中档．