Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{{S}_{n}-3}{{3}^{n}}$，试求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的定义，判断数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，并写出它的通项公式以及{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列{a_n}的前n项和定义，利用错位相减法求出S_n；
（Ⅲ）根据{b_n}的通项公式，求出最大项对应的项数n，即可求出{b_n}的最大项．

解答 解：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
即{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为$\frac{1}{2}$，公差d=1的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=n-$\frac{1}{2}$，
数列{a_n}的通项公式a_n=（2n-1）•2^n-1；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n；
∵a_n=（2n-1）•2^n-1；
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1；
2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ；
两式相减得-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3；
（Ⅲ）∵b_n=$\frac{{S}_{n}-3}{{3}^{n}}$，∴b_n═（2n-3）•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
由$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}{≥b}_{n+1}}\\{{b}_{n}{≥b}_{n-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（2n-3）{•（\frac{2}{3}）}^{n}≥（2n-1）{•（\frac{2}{3}）}^{n+1}}\\{（2n-3）•（\frac{2}{3}）{•（\frac{2}{3}）}^{n}≥（2n-5）{•（\frac{2}{3}）}^{n-1}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{7}{2}$≤n≤$\frac{9}{2}$，即n=4，
即数列{b_n}的最大项为b_n=$\frac{80}{81}$．

点评 本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了错位相减法求数列的个项和的问题，考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．