Question

13．已知数列{a_n}首项是a₁=1，且满足递推关系${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$．
（1）证明：数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求等差数列$\left\{{b_n}\right\}（n∈{N^*}）$使得对一切自然数n∈N^*都有如下的等式成立：${b_1}C_n^0+{b_2}C_n^1+{b_3}C_n^2+…+{b_{n+1}}C_n^n={a_{n+1}}$；
（3）c_n=nb_n，是否存在正常数M使得$\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+…+\frac{c_n}{a_n}＜M$对n∈N^*恒成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）把数列递推式两边同时除以2ⁿ⁺¹，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$．则数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（2）设出等差数列{b_n}的首项和公差，采用倒序相加法求得b₁+b_n+1=2n+2．分别取n=1、2列式求得首项和公差，则等差数列{b_n}的通项公式可求；
（3）由（1）（2）得到$\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}$的通项公式，然后利用错位相减法求和，再由放缩法证得答案．

解答 （1）证明：由${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$．
∴数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$；
（2）解：设等差数列{b_n}的首项为b₁，公差为d，则b_n=b₁+（n-1）d（n∈N^*）．
考察等差数列，易知：b₁+b_n+1=b₂+b_n=b₃+b_n-1=…=b_n+1+b₁．
又 b₁C_n⁰+b₂C_n¹+b₃C_n²+…+b_n+1C_nⁿ=a_n+1，
利用加法交换律把此等式变为b_n+1C_nⁿ+b_nC_n^n-1+b_n-1C_n^n-2+…+b₁C_n⁰=a_n+1，
两式相加，利用组合数的性质C_n^m=C_n^n-m化简，得（b₁+b_n+1）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）=2a_n+1，即b₁+b_n+1=2n+2．
再分别令n=1，n=2，得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+{b}_{2}=4}\\{{b}_{1}+{b}_{3}=6}\end{array}\right.$，求解可得b₁=1，d=2．
因此，满足题设的等差数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-1（n∈N^*）；
（3）解：结论：存在正常数M（只要M＞6即可），使得$\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+…+\frac{c_n}{a_n}＜M$对n∈N^*恒成立．
证明：由（2）知，b_n=2n-1，于是，c_n=n（2n-1），
∴$\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{n（2n-1）}{n•{2}^{n-1}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
令T_n=$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}+…+\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}$，则${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{3}{{2}^{1}}+\frac{5}{{2}^{2}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-2}}+\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
两式作差得，$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{2}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
整理得${T}_{n}=6-\frac{1}{{2}^{n-3}}-\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$＜6．
∴当且仅当正常数M＞6时，$\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+…+\frac{c_n}{a_n}＜M$对n∈N^*恒成立．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了倒序相加法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，属中高档题．