Question

18．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：（1）对任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）（2）当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0
（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明；
（Ⅲ）求不等式f（x）+f（x-1）＜0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用赋值法，x=y=0求出f（0）的值，结合y=-x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可；
（Ⅱ）先设0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定；
（Ⅲ）运用奇函数的定义和单调性，可得f（x）＜-f（x-1）=f（1-x），即有-1＜1-x＜x＜1，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）f（x）在（-1，1）上为奇函数．
理由：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（$\frac{0+0}{1+0}$）=f（0），
∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），
f（x）+f（-x）=f（$\frac{x-x}{1-{x}^{2}}$）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x），
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（Ⅱ）f（x）在（-1，1）上单调递减．
理由：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减，
∵f（x）在（-1，1）上为奇函数，
∴f（x）在（-1，1）上单调递减；
（Ⅲ）不等式f（x）+f（x-1）＜0即为
f（x）＜-f（x-1）=f（1-x），
由f（x）在（-1，1）上单调递减，
可得-1＜1-x＜x＜1，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
则不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，考查不等式的解法，属于中档题．