Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+{b}^{2}}{x+a}$（x∈[0，+∞），其中a＞0，b∈R．记M（a，b）为f（x）的最小值．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求a的取值范围，使得存在b，满足M（a，b）=-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x+a=t（t≥a），即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）+{b}^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}+{b}^{2}}{t}$-3a，运用函数的导数判断单调性即可得到；
（Ⅱ）由（1）的结论，求得最小值，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）令x+a=t（t≥a），
即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）+{b}^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}+{b}^{2}}{t}$-3a，
y′=1-$\frac{2{a}^{2}+{b}^{2}}{{t}^{2}}$=0，解得t=$\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}$．
可得在（a，$\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}$）上y′＜0，函数递减；
在（$\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}$，+∞）上y′＞0，函数递增．
则f（x）的单调递增区间为（（$\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}$，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得当t=$\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}$＞a，
可得M（a，b）=2$\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}$-3a=-1，
可得4b²=a²-6a+1≥0，
解得0＜a≤3-2$\sqrt{2}$或a≥3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，注意运用函数的单调性，考查函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．