Question

20．已知函数f（x）=|x|．
（1）解关于x的不等式f（x-1）＜a，a∈R
（2）解不等式f（x+1）+f（2x）≤4．

Answer 1

分析 （1）分a＞0和a≤0两种情况讨论，可得原不等式的解集；
（2）f（x+1）+f（2x）≤4可化为：$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\-3x-1≤4\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜0\\ 1-x≤4\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+1≤4\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）若a＞0，不等式f（x-1）＜a可化为：|x-1|＜a，解得1-a＜x＜1+a；
故原不等式的解集为：（1-a，1+a）；
若a≤0，则不等式f（x-1）＜a的解集为∅…（4分）
（2）由f（x+1）+f（2x）≤4得：
|x+1|+|2x|≤4
∴原问题等价于|x+1|+|2x|≤4，
∴$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\-3x-1≤4\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜0\\ 1-x≤4\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+1≤4\end{array}\right.$
解得：-$\frac{5}{3}$≤x≤1．
故原不等式的解集为：[-$\frac{5}{3}$，1]…（10分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度中档．