Question

10．已知函数f （x）是定义在实数集R上不恒为零的偶函数，且f （-1）=0，若对任意的实数x都有xf （x+1）=（1+x） f （x）成立，则$\sum_{k-0}^{2010}f（\frac{k}{2}）$ 的值是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．

解答 解：由xf（x+1）=（1+x）f（x），得-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$），
又f（x）为偶函数，
所以f（$\frac{1}{2}$）=0，
则$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$），所以f（$\frac{3}{2}$）=0，以此类推，可得f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=…=f（$\frac{2009}{2}$）=0，
f（1）=f（-1）=0，
所以1•f（2）=2f（1），所以f（2）=0，
由2f（3）=3f（2），得f（3）=0，以此类推，可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（1005）=0，
由0•f（1）=1•f（0），得f（0）=0，
所以$\sum _{k-0}^{2010}f（\frac{k}{2}）$=f（0）+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（$\frac{3}{2}$）+…+f（$\frac{2009}{2}$）+f（1005）=0，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．